Rizik propasti
Vjerojatnost da izgubite cijeli bankroll prije nego što dosegnete cilj.
Za oklade na jednostavne šanse rizik propasti slijedi formulu kockareve propasti. S bankrollom od $500, okladama od $10 i ciljem od $600 cilj dosegnete u oko 57% slučajeva, a u ostalima izgubite sve.
Pitanje
Imate a jedinicanovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sustav ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za bilo kojim stolom.Pročitajte cijelo → bankrolla (novca odvojenog za igru)novacBankrollUkupan iznos odvojen za igru. Upravljanje bankrollom znači odlučiti koliko ćete od njega riskirati po okladi i po sesiji.Pročitajte cijelo → i želite doseći a + b jedinica, ulažući jednu po jednu jedinicu na okladu na jednostavnu šansuokladaOklada na jednostavnu šansuCrveno/crno, neparno/parno, visoko/nisko. 18 brojeva, isplaćuje 1:1.Pročitajte cijelo → s vjerojatnošćumatematikaVjerojatnostIzgledi da se neki ishod dogodi, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → dobitka p = 18/37 i vjerojatnošću gubitka q = 19/37. Kolika je vjerojatnost da dosegnete cilj prije nego što dođete do nule? Odgovor su 1650-ih izračunali Pascal, Fermat i Huygens i to je jedan od najstarijih rezultata teorije vjerojatnosti.
Formula kockareve propasti
P(dosegnuti cilj) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Rizik propastimatematikaRizik propastiVjerojatnost gubitka cijelog bankrolla prije nego što se dosegne cilj ili određeni broj okretaja.Pročitajte cijelo → je jedan minus to. Uz q/p = 19/18 ≈ 1,0556 omjer raste eksponencijalno s brojem jedinica, pa formula strogo kažnjava male jedinice: što je više oklada potrebno do cilja, to se više puta putem plati cestarina od 2,70%.
Kako to čitati
Manje jedinice štete. Pokušaj da udvostručite $500 okladama od $10 uspije u 6% slučajeva; jednom okladom od $500 uspije u 48,6% slučajeva. Odvažna igra, manje i veće oklade, maksimizira vjerojatnost dosezanja cilja u igri s negativnim očekivanjem, jer minimizira broj puta koliko se prednost primijeni. Ona također maksimizira varijancumatematikaVarijancaMjera toga koliko se široko rezultati raspršuju oko očekivane vrijednosti. Visoka za jedan broj, niska za oklade na jednostavne šanse.Pročitajte cijelo → onoga što vam se dogodi i brzo završi večer. Teorem se zove „odvažna igra je optimalna” i dokazali su ga Dubins i Savage 1965.
Gdje je problem počeo
Pitanje je starije od ruleta. Godine 1656. Pascal je Fermatu zadao zagonetku: dva igrača bacaju tri kocke, a svaki počinje s 12 žetona; bacanje zbroja 11 pomiče žeton na jednu stranu, bacanje zbroja 14 na drugu. Obojica su je riješila, a Huygens, koji je za nju čuo iz pisma matematičara Pierrea de Carcavija, objavio ju je 1657. kao peti zadatak prve knjige o vjerojatnosti, s odgovorom i bez dokaza. Jedanaest se može baciti na 27 načina, a četrnaest samo na 15, pa se svaki žeton pomiče u korist prvog igrača 9 puta od 14, a gornja formula, s po 12 žetona, daje mu oko 1.157 puta veće izglede da osvoji sve nego da sve izgubi. Prednost od 2,70% daleko je manja, ali ista formula pokazuje što ona čini kroz mnogo oklada.
Stvarna odvažna oklada
U travnju 2004. Ashley Revell, mladi Englez, prodao je gotovo sve što je posjedovao, uključujući odjeću, i s $135.300 otišao u Plazu u Las Vegasu. Nakon nekoliko malih oklada cijeli je iznos uložio na crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo →, jednom. KuglicaopremaKuglicaMala kugla koja se ubacuje u stazu suprotno od smjera rotora. Suvremene kuglice izrađene su od ivorina ili teflona, 18–21 mm.Pročitajte cijelo → je pala na crveni 7 i on je izašao s $270.600. Na kotaču s dvostrukom nulomkotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo → taj je jedan okretaj imao vjerojatnost od 47,37% i stajao ga je u prosjeku $7.121, prednost od 5,26% na jednoj okladi. Raspoređen na oklade od $10, isti bi cilj bio gotovo beznadan. Odvažna igra ne čini okladu dobrom; čini je što kraćom.
Rizik propasti bez cilja
Ako jednostavno igrate dok ne izgubite sve ili stanete nakon N okretaja, pitanje postaje „kolika je vjerojatnost da moj bankroll dotakne nulu unutar N okretaja?”. Za opći N nema zatvorenog oblika, ali ga simulatori na ovoj stranici izračunavaju: bankroll od $500 uz $10 na crveno gotovo nikad ne propadne u 100 okretaja (manje od 1%), propadne u oko 9% slučajeva u 500 okretaja i u oko 95% slučajeva u 5.000. Bez pravila zaustavljanja vjerojatnost teži prema 100%, a to je dugoročna inačica prednosti kućematematikaPrednost kućeUdio svakog uloga koji kasino u prosjeku zadrži: 2,70% u europskom ruletu.Pročitajte cijelo →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- medijan −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Koliko dugo i koliko u plusu
Još dva klasična rezultata odgovaraju na pitanja koja igrači stvarno postavljaju. Bez cilja, oklade na jednostavne šanse sa stalnim ulogom traju u prosjeku 37 okretaja za svaku jedinicu bankrolla na europskom kotaču i 19 na američkom, jer svaki okretaj u prosjeku uzme 1/37 jedinice (1/19 na američkom kotaču): 100 jedinica traje u prosjeku 3.700 okretaja, iako polovica takvih sesija završi unutar 3.134 (pogledajte Trajanje i trošak sesije). I koliko god bankroll bio velik, vjerojatnost da na europskom kotaču ikad budete k jedinica u plusu iznosi (18/19)ᵏ. To je 95% za jednu jedinicu i 58% za deset, ali nijedan bankroll, ma koliko dubok, ne daje jednake izglede da ikad budete 13 jedinica u plusu; na američkom kotaču vjerojatnost je (9/10)ᵏ i pada ispod jedne polovine na 7 jedinica.
Bankroll za izglede pola-pola
Okrenite pitanje: koliko morate donijeti da biste imali barem izglede pola-pola da osvojite zadani iznos prije nego što izgubite sve? Za mali dobitak ne mnogo. Za veći potrebni bankroll strmo raste, a od neke točke nijedan bankroll nije dovoljan, jer čak i beskonačan daje manje od pola-pola izgleda da ikad budete toliko u plusu. Taylor (2021) to kaže drukčije: na američkom kotaču, da biste imali izglede pola-pola da dosegnete 100 jedinica, morate početi s 94, riskirajući 94 da biste dobili 6. Na europskom kotaču trebalo bi vam 88.
Praktična pouka
Odlučite što pokušavate postići. Ako je cilj određeni dobitak, kladite se visoko i rijetko. Ako je cilj duga večer, kladite se nisko i prihvatite da će prednost uzeti svojih 2,70% od velikog prometanovacPrometUkupan uloženi iznos tijekom sesije ili razdoblja, uključujući ponovno uložene dobitke. Također: handle, action.Pročitajte cijelo →. Ako je cilj oboje, nešto mora popustiti, a obično je to cilj.
Formula
Pitanja
Sustav MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje ulog nakon svakog gubitka. Što čini, a što ne čini, pogledajte u odjeljku Strategija.Pročitajte cijelo → smanjuje ga za kratke sesije, a dramatično povećava za duge. Klađenje stalnim ulogomstrategijaKlađenje stalnim ulogomUlaganje istog iznosa u svakom okretaju. Polazište s kojim se uspoređuje svaka progresija.Pročitajte cijelo → s većom jedinicom pošten je način da se smanji.
Gornja formula vrijedi za jednostavne šanse. Kod oklada s velikom varijancom propast je vjerojatnija pri malim ulozima, a cilj se doseže neravnomjernije; upotrijebite kalkulator.
Svaki korak prema cilju malo je manje vjerojatan od svakog koraka prema propasti; omjer se nagomilava s brojem koraka.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Imate $100 i želite $1.000, a kladite se samo na crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo →. Prvi plan: ulagati po $1. Drugi plan: ulagati sve što imate dok ne prijeđete $500, a onda točno onoliko koliko treba do $1.000. Koji je plan bolji i za koliko?
Prikaži rješenje
Odgovor Drugi plan, i to daleko. Do $1.000 stiže u oko 9,0% slučajeva, blizu pravednih 10%. Prvi plan uspijeva otprilike 7 puta u 10²².
U pravednoj igrimatematikaPravedna igraIgra u kojoj nijedna strana nema prednost: svaka oklada ima očekivanu vrijednost nula.Pročitajte cijelo → od $100 do $1.000 stigli biste jednom u deset slučajeva što god radili, jer prosječna vrijednost vašeg novca ostaje $100.
Prednost uzima 2,70% svake oklade, pa što manje ukupno uložite, to ste bliže jednom od deset. Drugi plan odlučuje stvar u nekoliko oklada: $100 postaje $200, $400, $800, a onda je dovoljno $200. Uspijeva u oko 9,0% slučajeva. Prvi plan traži tisuće oklada prije nego što šetnja završi, a prednost, malena na svakoj od njih, zbraja se u gotovo sigurnu propast.
To je rezultat Dubinsa i Savagea u najjednostavnijem obliku (Epstein, 2013): u igri koja ide u korist kuće uložite onoliko koliko vam treba, što manje puta.
Imate $500 i želite $1.000, a stajete čim ih imate. Odaberete jednu vrstu oklade i ponavljate je dok jednom ne dobije ili dok novac ne ponestane. Koja vrsta daje najveću vjerojatnost?
Prikaži rješenje
Odgovor Jedna oklada od $500 na crveno: 48,6%. Svaki plan koji novac rasporedi na manje oklade prolazi lošije.
Odaberite svaki ulog tako da je jedan dobitak dovoljan: $30 na jedan broj (straight up)okladaJedan broj (straight up)Jedan jedini broj, isplaćuje 35:1.Pročitajte cijelo → dobiva $1.050, $60 na splitokladaSplitDva susjedna broja, isplaćuje 17:1.Pročitajte cijelo → dobiva $1.020 i tako dalje. Zatim izračunajte vjerojatnost da barem jedna oklada dobije prije nego što novac ponestane. Šesnaest oklada od $30 na jedan broj promaši s vjerojatnošću (36/37)¹⁶ = 64,5%, pa do $1.000 stižu u 35,5% slučajeva.
Tablica prikazuje svaku okladu. Crveno prolazi najbolje jer stiže do cilja jednom okladom, pa se prednost plaća jednom, na $500. Dvostruka ulica (six line)okladaDvostruka ulica (six line)Šest brojeva u dva susjedna reda, isplaćuje 5:1. Francuski: sixain.Pročitajte cijelo → je druga jer joj trebaju samo tri. Jedna oklada na tucetokladaTucet1–12, 13–24 ili 25–36, isplaćuje 2:1.Pročitajte cijelo → najlošija je, uz izglede od 12/37; čak i igran u jedinicamanovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sustav ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za bilo kojim stolom.Pročitajte cijelo → od $250 dok ne imate $1.000 ili više, tucet stiže do cilja samo u 46,4% slučajeva.
Bollman (2024) sastavlja istu tablicu za američki kotač. U njegovu retku za tucet potkrala se greška: treba stajati 12/38 = 31,6%.
okladaulog × broj okladavjerojatnost dolaska do $1.000Jedan broj$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Ulica$90 × 534,5%Kut$125 × 436,7%Dvostruka ulica$166, $166, $16841,2%Tucet$500 × 132,4%Crveno$500 × 148,6%Ulažete jednu jedinicu na crveno, okretaj za okretajem, s bankrollomnovacBankrollUkupan iznos odvojen za igru. Upravljanje bankrollom znači odlučiti koliko ćete od njega riskirati po okladi i po sesiji.Pročitajte cijelo → (novcem odvojenim za igru) koji nikad ne ponestane. Nakon prvog okretaja imate jednu jedinicu više ili jednu jedinicu manje. Kolika je vjerojatnost da ćete ikad ponovno biti točno na nuli?
Prikaži rješenje
Odgovor 36 od 37, 97,3%. Na američkom kotaču 36 od 38, 94,7%.
Ako prvi okretaj dobije (18 puta od 37), imate jednu jedinicu više, a prednost svaku beskonačnu sesiju vuče prema dolje, pa prije ili kasnije ponovno prođete kroz nulu: to je sigurno. Ako izgubi (19 puta od 37), morate se popeti za jednu jedinicu, a vjerojatnost da ćete ikad imati jednu jedinicu više iznosi 18/19 (vidi tablicu iznad).
Zajedno: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Općenito je vjerojatnost 1 minus razlika između vjerojatnosti dobitka i gubitka u jednom okretaju: 1 − 1/37 na europskom kotaču, 1 − 2/38 na američkom. U igri bez nulekotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo → razlike nema i vjerojatnost je 1: rezultat se uvijek vrati na nulu. Epstein (2013) daje opće pravilo.
Pascalova zagonetka iz 1656.: dva igrača bacaju tri kocke, a svaki počinje s 12 žetona. Svaki zbroj 11 prebacuje jedan žeton prvom igraču, svaki zbroj 14 jedan drugomu; ostala bacanja se ne računaju. Kolika je vjerojatnost da prvi igrač osvoji sva 24? A ako umjesto toga u svakom okretaju uložite 1 jedinicu na crveno protiv prijatelja koji drži banku, s po 12 jedinica, kolika je vjerojatnost da ćete vi osvojiti sve 24?
Prikaži rješenje
Odgovor Prvi igrač dobiva otprilike 1.157 puta od 1.158. Vi, na crvenom, osvajate sve 24 jedinice samo u oko 34% slučajeva.
Tri kocke daju 11 na 27 načina, a 14 na 15 načina, pa svaki žeton koji se pomakne ide prvom igraču 27 puta od 42, odnosno 9 puta od 14. Kad svaka strana počinje s 12, vjerojatnost da se uzme sve iznosi 1/(1 + r¹²), gdje je r omjer vjerojatnosti druge strane i vaše.
Za prvog igrača r = 5/9, a (5/9)¹² ≈ 0,00086, pa je vjerojatnost oko 0,99914: izgledi 9¹² prema 5¹², odnosno 282.429.536.481 prema 244.140.625, otprilike 1.157 prema 1. Huygens je točno te brojeve objavio 1657.
Na crvenom je r = 19/18 zbog nule, a (19/18)¹² ≈ 1,913: vaša je vjerojatnost 1/2,913 ≈ 34,3%. Novčić bi dao 50%. Prednost od 2,70% na svakoj okladi zbraja se, kroz mnoge potrebne oklade, u razliku od 16 postotnih bodova.
Malo humora
Odvažna igra je optimalna. Također brzo završi.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Pismo Huygensu, 28. rujna 1656., o problemu koji je Pascal postavio Fermatu.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”