Vjerojatnost nizova u ruletu
Dugi nizovi jedne boje česti su. Za sljedeći okretaj ujedno su bez ikakva značenja.
Pet crvenih zaredom: 2,7%. Deset: 0,074%. U sesiji od 200 okretaja niz od šest iste boje pojavi se češće nego što se ne pojavi.
Koliko često dolazi gubitnički niz
Oklada na jednostavnu šansu na kotaču s jednom nulom gubi u 19 od 37 okretaja. Svaki redak prikazuje vjerojatnost da svi okretaji u zadanom nizu izgube i koliko je dotad izgubio igrač sustava Martingale, koji nakon svakog gubitka udvostručuje ulog.
| uzastopni gubici | vjerojatnost | otprilike 1 od | dosad izgubljeno | sljedeći ulog |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Vjerojatnost je 19/37 pomnoženo samo sa sobom jednom za svaki gubitak, računajući od jednog zadanog okretaja. Duga sesija ima mnogo okretaja na kojima takav niz može započeti, pa je tijekom jedne večeri on mnogo vjerojatniji nego što sugerira jedan redak.
Jedan niz
VjerojatnostmatematikaVjerojatnostIzgledi da se neki ishod dogodi, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → da u svih sljedećih k okretaja padne crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → iznosi (18/37)ᵏ. Dva: 23,7%. Pet: 2,7%. Deset: 0,074%, otprilike 1 od 1.350. Dvadeset: 1 od 1,8 milijuna. Dvadeset šest, rekord iz Monte Carla: 1 od 137 milijuna. To su izgledi za određeni niz koji počinje u određenom okretaju, a to je pitanje koje gotovo nitko zapravo ne postavlja.
U sesiji
Ljudi zapravo pitaju „hoće li se niz od k pojaviti negdje u mojoj sesiji?”, a odgovor je daleko veći od (18/37)ᵏ jer sesija od 200 okretaja nudi gotovo 200 mjesta na kojima niz može početi. Niz od šest ili više iste boje, crvenog ili crnogokladaCrnoOklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo →, u sesiji od 200 okretaja pojavi se u oko 94% slučajeva; od osam ili više u oko 47%; od deset ili više u oko 14%. Ako boju odredite unaprijed, vjerojatnosti padaju na oko 75%, 27% i 7%. Igrač koji provede večer za stolom svake će večeri vidjeti duge nizove.
Zašto je to važno za Martingale
Svaka negativna progresijastrategijaProgresijaSvako pravilo koje mijenja ulog na temelju prethodnih rezultata. Negativne progresije povećavaju ga nakon gubitaka, pozitivne nakon dobitaka.Pročitajte cijelo → ima duljinu niza koja je slomi: šest gubitaka od osnovnog uloga $10 uz limit od $500, deset za sustav FibonaccistrategijaFibonacciProgresija koja slijedi niz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: jedan korak naprijed nakon gubitka, dva koraka natrag nakon dobitka.Pročitajte cijelo →, pet za utrostručivanje na tucetimaokladaTucet1–12, 13–24 ili 25–36, isplaćuje 2:1.Pročitajte cijelo →. Vjerojatnost gubitničkog niza od šest na jednostavnim šansama je (19/37)⁶ ≈ 1,8% po pokušaju, a sesija od 200 okretaja sadrži možda 100 pokušaja, pa slom stiže u otprilike četiri od pet sesija te duljine. Vjerojatnosti nizova razlog su zašto provalija nije rijetka.
Vrući i hladni brojevi
Ista aritmetika vrijedi za oklade na jedan broj (straight up)okladaJedan broj (straight up)Jedan jedini broj, isplaćuje 35:1.Pročitajte cijelo →. U 300 okretaja očekivani broj pogodaka po broju je 8,1; standardna devijacijamatematikaStandardna devijacijaDrugi korijen varijance; tipična udaljenost rezultata od očekivane vrijednosti.Pročitajte cijelo → je oko 2,8. Neki će broj imati 15 pogodaka, a neki 2, samo slučajno, svaki put. Ploča s rezultatima koja ističe „vruće” brojeve ističe vrh normalne razdiobe. Laboratorij objašnjava koliko je okretaja potrebno prije nego što vrući brojmitVrući brojBroj koji je u posljednje vrijeme pao češće od očekivanog. Na ispravnom kotaču ne predviđa ništa.Pročitajte cijelo → išta znači (tisuće, s jednog poznatog kotača).
Nezavisnost je cijela poanta
Niz od deset crvenih ne čini crno vjerojatnijim, a ne čini vjerojatnijim ni crveno. Oboje ima 18/37. Nizovi su svojstvo slučajnih slijedova i bili bi sumnjivi kad ih ne bi bilo: slijed od 200 okretaja bez ijednog niza duljeg od četiri bio bi daleko jači dokaz namještanja od slijeda s nizom od dvanaest.
Formula
Pitanja
Najpoznatiji je niz od 26 crnih u Monte Carlu 18. kolovoza 1913. Niz od 32 crvena zaredom zabilježen je u jednom američkom kasinu 1943. Oba su u skladu sa slučajem, s obzirom na to koliko okretaja kasina odigraju.
Vjerojatnost je 18/37 u oba slučaja. Kladite se na ono što kaže vaš plan, ili se ne kladite.
Ne znače. Pristranost se pokazuje tako da neki pretinciopremaPretinacJedan od 37 numeriranih odjeljaka na rotoru. Također: slot, cup.Pročitajte cijelo → padaju češće kroz tisuće okretaja, a ne kao nizovi jedne boje.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Koliko je okretaja europskog kotača u prosjeku potrebno dok svaki od 37 brojeva ne padne barem jednom?
Prikaži rješenje
Odgovor U prosjeku oko 155 okretaja; medijan je 147.
Brojite čekanje jedan novi broj po jedan. Prvi okretaj uvijek pokaže novi broj. Kad ste vidjeli 1 broj, novo je 36 pretinacaopremaPretinacJedan od 37 numeriranih odjeljaka na rotoru. Također: slot, cup.Pročitajte cijelo → od 37, pa sljedeći novi broj u prosjeku traži 37/36 okretaja. Kad ste vidjeli k brojeva, traži 37/(37 − k).
Zbrojite čekanja: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 okretaja.
Većina toga otpada na kraj. Samo posljednji broj u prosjeku traži 37 okretaja, a posljednjih pet oko 85. Na američkom kotaču isti zbroj daje oko 161. To je problem skupljača kupona; Wizard of Odds navodi isti prosjek.
Koliko različitih brojeva možete očekivati u 37 okretaja europskog kotača, po jednom okretaju za svaki pretinac?
Prikaži rješenje
Odgovor Otprilike 23,6. Otprilike trećina brojeva, njih oko 13, uopće ne padne.
Uzmite jedan broj, recimo 17. U svakom okretaju ne padne s vjerojatnošću 36/37, pa promaši svih 37 okretaja s vjerojatnošću (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Svaki broj ima istu vjerojatnost, pa u prosjeku nedostaje 37 × 0,363 ≈ 13,4 broja, a padne ih 37 − 13,4 ≈ 23,6, mnogi od njih dvaput ili više.
Igrači ruleta to zovu zakonom trećina. To nije nikakav zakon, nego samo aritmetika ponavljanja: u nizu dugom koliko i kotač otprilike trećina brojeva izostane, na ispravnom kotaču kao i na svakom drugom. Na 38 pretinaca udio je također (37/38)³⁸ ≈ 0,363; za veliki kotač ustali se blizu 1/e ≈ 0,368.
Prijatelj vam pokaže dva popisa od 50 boja, crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → ili crnookladaCrnoOklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo →, za koje tvrdi da potječu s kotača na kojem su nulekotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo → izostavljene. Jedan mijenja boju 25 puta, a najduži mu je niz šest. Drugi mijenja boju 35 puta i nikad ne prelazi niz od tri. Koji je izmišljen?
Prikaži rješenje
Odgovor Drugi. Pravi popis mijenja boju oko 24 ili 25 puta. Popis s 35 promjena pojavi se otprilike jednom na 500 popisa, a popis bez niza duljeg od tri otprilike dvaput na 100.
Svaka nova boja ili ponavlja prethodnu ili se mijenja, pola-pola, pa 49 prilika za promjenu u prosjeku daje 24,5 promjena, uz odstupanje od oko 3,5. Trideset pet je tri takva koraka iznad prosjeka; ispravan kotač toliko promjena daje otprilike jednom na 500 popisa.
Nizovi govore isto. Pravi popis od 50 boja u oko 98% slučajeva ima niz od četiri ili više, a najduži mu je niz najčešće pet ili šest.
Ljudi od kojih se traži da izmisle slučajan popis prečesto mijenjaju boju, jer im niz od četiri ili pet izgleda kao obrazac. Taylor (2021) pokazuje isti znak u popisima bacanja novčića koje su izmislili studenti: prava slučajnost sklonija je nizovima nego što ljudi očekuju.
Knjiga kasinskih priča govori o igraču čiji je broj pao pet puta zaredom i naziva to rekordom. Koliko je to rijetko na europskom kotaču? I koliko bi se često trebalo dogoditi negdje u jednom kasinu s 20 stolova, od kojih svaki vrti 40 puta na sat, danju i noću?
Prikaži rješenje
Odgovor Unaprijed određeni broj pet puta zaredom: 1 od 69 milijuna. Bilo koji broj koji nakon prvog pojavljivanja padne još četiri puta: 1 od 1,87 milijuna. Taj kasino godišnje ima oko 7 milijuna okretaja, pa bi niz od pet trebao vidjeti tri ili četiri puta godišnje.
Unaprijed određeni broj padne s vjerojatnošću 1/37 u svakom okretaju, pa pet zaredom ima vjerojatnost (1/37)⁵ = 1 od 69.343.957. No nitko broj ne određuje unaprijed. Što god padne prvo, sljedeća četiri okretaja moraju ga ponoviti: (1/37)⁴ = 1 od 1.874.161.
20 stolova × 40 okretaja × 24 sata × 365 dana = 7.008.000 okretaja godišnje. Svaki okretaj može započeti niz, pa kasino može očekivati 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 niza od pet godišnje.
Službeni rekord te vrste ne postoji, a nije ni potreban: rijedak događaj za jednim stolom uobičajen je u cijelom kasinu, a priče se pričaju o stolu za kojim se dogodio. Priča, koju donosi Goldman (2007), smještena je na kotač s dvije nule, gdje su brojke 1 od 79 milijuna i 1 od 2,09 milijuna.
Malo humora
Dugi nizovi upravo su ono kako slučajnost izgleda.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.