Zadatak: rođendanski kotač
Koliko okretaja treba dok se neki broj ne ponovi? Mnogo manje nego što većina ljudi pogađa.
Problem rođendana na kotaču s 37 pretinacaopremaPretinacJedan od 37 numeriranih odjeljaka na rotoru. Također: slot, cup.Pročitajte cijelo →: nakon samo 8 okretaja vjerojatnost da je neki broj već pao dvaput veća je od polovice. Igrači ponavljanja čitaju kao uzorke; ona su očekivano ponašanje ispravnog kotača.
Zadatak
Vrtite ispravan europski kotač. Nakon koliko okretaja vjerojatnostmatematikaVjerojatnostIzgledi da se neki ishod dogodi, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → da su barem dva okretaja dala isti broj prelazi polovicu? Većina igrača pogađa negdje oko 18 ili 19, polovicu od 37. Odgovor je 8.
Rješenje
Izračunajte vjerojatnost da nema ponavljanja i oduzmite je od jedan. Nakon k okretaja p(svi različiti) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Za k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, pa je p(neko ponavljanje) ≈ 0,56. Za k = 14 iznosi 0,93; za k = 20 iznosi 0,996. Intuicija zakazuje jer broj parova okretaja raste kao k², a bilo koji par može se poklopiti.
Zašto je to važno za stolom
Ploča s rezultatima posljednjih 20 brojeva gotovo će uvijek pokazati barem jedno ponavljanje, često dva ili tri. Igrači vide „17 je palo dvaput u deset okretaja” i zaključuju da je 17 vruć; rođendanski račun kaže da se ponavljanje unutar deset okretaja događa u 74% slučajeva i da je ponovljeni broj slučajan. Uzorak je stvaran; značenje nije.
Dodatni zadatak
Koliko okretaja treba dok određeni broj, recimo 17, ne padne dvaput? To je drukčije pitanje s mnogo većim odgovorom: očekivano čekanje iznosi 74 okretaja, a vjerojatnost da 17 padne dvaput unutar 20 okretaja iznosi oko 10%. Razlika između „neki se broj ponavlja” (8 okretaja) i „ovaj se broj ponavlja” (74 okretaja) cijela je razlika između uzorka koji primijetite naknadno i predviđanja koje napravite unaprijed.
Isprobajte
Pokrenite Demo igru na deset okretaja i pogledajte povijest. Obično će biti jedno ponavljanje. Pokrenite je ponovno. Ponovljeni broj bit će drugi. Učinite to deset puta i vidjeli ste problem rođendanamatematikaProblem rođendanaKoliko je ljudi potrebno da dvoje vjerojatno dijeli rođendan ili koliko okretaja prije nego što se neki broj vjerojatno ponovi. Na kotaču s 37 pretinaca 8 okretaja dovoljno je za šansu bolju od jednake.Pročitajte cijelo →; učinite to tisuću puta (simulatori to mogu) i izmjerili ste ga.
Formula
Pitanja
Točno to, s 37 pretinaca umjesto 365 dana. 23 osobe daju 50% za rođendane; 8 okretaja daje 56% za kotač.
50% nakon otprilike 19 okretaja. I dalje posve uobičajeno.
Ne. Tisuće okretaja s jednog kotača mogle bi; jedno ponavljanje nikad.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Ploča s rezultatima pokraj američkog kotača prikazuje posljednjih 16 okretaja. Kolika je vjerojatnost da se nijedan broj na njoj ne pojavi dvaput?
Prikaži rješenje
Odgovor Otprilike 2,5%: otprilike 39 ploča od 40 pokazuje barem jedno ponavljanje.
Idite okretaj po okretaj. Prvi okretaj može biti bilo što. Drugi ga mora promašiti: 37 slučajeva od 38. Treći mora promašiti oba: 36 od 38. Šesnaesti mora promašiti petnaest brojeva: 23 od 38.
Pomnožite: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Ploča bez ponavljanja je ona rijetka. Ploča s ponavljanjem ne govori ništa o kotaču.
Kolika je vjerojatnost da u deset okretaja europskog kotača broj 17 padne točno pet puta? Da neki broj, bilo koji, padne pet ili više puta? I da neki broj padne barem tri puta u četiri okretaja?
Prikaži rješenje
Odgovor 17 točno pet puta: 1 od 315.576. Neki broj pet ili više puta: otprilike 1 od 8.333. Neki broj tri ili više puta u četiri okretaja: 1 od 349.
17 pet puta: odaberite kojih pet od deset okretaja, 252 načina, svaki s vjerojatnošću (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Ukupno 1 od 315.576.
Neki broj: svaki od 37 brojeva ima vjerojatnost 1 od 308.325 da padne pet ili više puta, što daje 37 od 308.325, odnosno 1 od 8.333. Rijedak slučaj dvaju brojeva s po pet pogodaka računa se dvaput, ali njegovo uklanjanje ne mijenja ništa na toj točnosti.
Tri puta u četiri okretaja: za jedan broj 4 × 36 + 1 = 145 od 37⁴ mogućih ishoda; za bilo koji od 37 brojeva 145/37³ = 1 od 349.
Wizard of Odds odgovorio je na ista pitanja za kotač s dvije nulekotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo →; naše brojke za taj kotač su 1 od 359.275, 1 od 9.243 i 1 od 368. Razlika između „17” i „nekog broja” opet je problem rođendanamatematikaProblem rođendanaKoliko je ljudi potrebno da dvoje vjerojatno dijeli rođendan ili koliko okretaja prije nego što se neki broj vjerojatno ponovi. Na kotaču s 37 pretinaca 8 okretaja dovoljno je za šansu bolju od jednake.Pročitajte cijelo →: postoji 37 načina da se iznenadite.
Malo humora
Nešto se rano ponovi. To nešto je slučajno.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, pitanja o ruletu.