Dugoročna konvergencija: zakon velikih brojeva u ruletu
Kako se prosjek približava vrijednosti −2,70% i zašto to traje dulje nego što intuicija govori.
Prosječni gubitak po okretaju konvergira prema −1/37 kako se okretaji gomilaju, a raspršenost se smanjuje kao 1/√N. Nakon 1.000 okretaja na crveno prosjek je obično unutar ±3% od svojeg očekivanja.
Zakon velikih brojeva
Tekući prosjek nezavisnih oklada teži prema očekivanoj vrijednostimatematikaOčekivana vrijednostProsječni rezultat po okladi dugoročno. −1/37 uloga za svaku standardnu europsku okladu.Pročitajte cijelo →. Nakon N okretaja na jednostavnu šansu s ulogom od jedne jedinicenovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sustav ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za bilo kojim stolom.Pročitajte cijelo → prosječni rezultat po okretaju ima očekivanje −1/37 i standardnu devijacijumatematikaStandardna devijacijaDrugi korijen varijance; tipična udaljenost rezultata od očekivane vrijednosti.Pročitajte cijelo → 1/√N. Pri N = 100 ta raspršenost iznosi 10% uloga, gotovo četiri puta više od signala od 2,7%. Pri N = 1.000 iznosi 3,2%, otprilike koliko i signal. Pri N = 10.000 iznosi 1% i prednost je jasno vidljiva. Prednost je nevidljiva u jednoj sesiji, a nepogrešiva u godini dana.
Što konvergira, a što ne
Prosjek po okretaju konvergira. Ukupni iznos ne: s rastom N udaljava se od nule, u očekivanju za oko 2,7% od N, s raspršenošću od √N oko toga. Od igrača koji je odigrao 10.000 okretaja po $10 očekuje se da je u minusu $2.700, plus-minus $1.000. Tekući udio crvenihokladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → davno se ustalio blizu 48,65%; tekuće stanje nije se ustalilo nigdje.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medijan −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Zašto intuicija zakazuje
Ljudi očekuju da će se prednost brzo pokazati jer 2,70% zvuči kao mnogo, a da će se dugi nizovi „izravnati” jer zakon velikih brojevamatematikaZakon velikih brojevaProsjek nezavisnih rezultata konvergira očekivanoj vrijednosti kako raste broj pokušaja.Pročitajte cijelo → kaže da prosjeci konvergiraju. Obje intuicije pogrešno procjenjuju razmjere: prednost je malena u odnosu na varijancumatematikaVarijancaMjera toga koliko se široko rezultati raspršuju oko očekivane vrijednosti. Visoka za jedan broj, niska za oklade na jednostavne šanse.Pročitajte cijelo → jednog okretaja (σ = 1 jedinica naspram EV = 0,027), pa je potrebno (1/0,027)² ≈ 1.400 okretaja da postane vidljiva na razini jedne sigme. A konvergencija prosjeka ni na koji način ne vraća ukupni iznos natrag; ona samo razrjeđuje prošla odstupanja.
Konvergencija kod drugih oklada
Kod oklada na jedan brojokladaJedan broj (straight up)Jedan jedini broj, isplaćuje 35:1.Pročitajte cijelo → σ = 5,84, pa isti izračun daje (5,84/0,027)² ≈ 47.000 okretaja dok prednost ne dosegne jednu sigmu. Igrač koji se kladi na jedan broj može igrati godinama a da se prednost u njegovim vlastitim zapisima ne može razlikovati od sreće, iako plaća točno istih 2,70% kao igrač na crveno koji je vidi već za nekoliko tjedana.
Što to znači za testiranje sustava
Svatko tko tvrdi da neki sustav funkcionira trebao bi to moći pokazati na 10.000 ili više okretaja s dokumentiranim pozitivnim prosjekom. Pri 1.000 okretaja pozitivan prosjek na jednostavnoj šansi događaj je od jedan prema pet uz nultu hipotezu; pri 100 okretaja to je gotovo bacanje novčića. Simulatori na ovoj stranici u jednoj sekundi odigraju 2.000 sesija duljine koju odaberete, što je više dokaza od bilo kakvog svjedočanstva.
Formula
Pitanja
VjerojatnostmatematikaVjerojatnostIzgledi da se neki ishod dogodi, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → da ćete ikad ponovno biti u plusu pada prema nuli što dulje igrate. Ukupni iznos klizi naniže bez granice.
Ne. Znači da prošla odstupanja postaju manji udio većeg uzorka.
Za jednostavne šanse oko 10.000 prije nego što prednost postane jasno vidljiva. Za oklade na jedan broj oko 50.000.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Dva prijatelja igraju 20 rundi pravedne igrematematikaPravedna igraIgra u kojoj nijedna strana nema prednost: svaka oklada ima očekivanu vrijednost nula.Pročitajte cijelo →, bacanja novčića ili crvenogokladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → protiv crnogokladaCrnoOklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo → uz vraćanje uloga na nulukotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo →, i vode tekući rezultat. Prebrojite runde u kojima je svaki od njih u vodstvu (neriješen rezultat računa se onomu tko je vodio neposredno prije). Što je vjerojatnije: da se vodstvo podijeli 10 rundi prema 10 ili da jedan prijatelj vodi svih 20?
Prikaži rješenje
Odgovor Daleko je vjerojatnije da jedan prijatelj vodi svih 20 rundi: 35,2%, računajući bilo kojeg od njih, prema 6,1% za ravnomjernih 10 prema 10.
Vjerojatnost da je pravedni tekući rezultat izjednačen nakon 2k rundi iznosi u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 nakon 10 rundi i 0,176 nakon 20. Klasičan rezultat, zakon arkus sinusa, kaže da je vjerojatnost da određeni prijatelj vodi u točno 2k od 2n rundi jednaka u(2k) × u(2n − 2k).
Vodstvo u svih 20: u(20) × u(0) = 0,176 za svakog prijatelja, 35,2% za bilo kojeg. Ravnomjerna podjela: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, najmanje vjerojatna podjela od svih.
Dakle u pravednoj igri vodstvo rijetko mijenja stranu. Igrač koji je cijelu večer vodio, ili cijelu večer zaostajao, nije vidio ništa neobično, a to ne govori ništa ni o kotaču ni o vještini. Epstein (2013) navodi isti zakon za dulje igre: u polovici slučajeva sretnija strana vodi više od 85% igre.
Malo humora
Prosjek konvergira. Ukupni iznos jednostavno ode.
Izvori
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.