Zadatak: limit stola
Sustav Martingale s osnovnim ulogom od $10 za stolom s limitom od $500. Koliko se često lomi, koliko gubi kad se slomi i pomaže li podizanje limita?
Šest gubitaka zaredom lomi ga: 1,8% po ciklusu, oko 60% sesija od 100 okretaja. Lom stoji $630. Podizanje limita na $5.000 čini lom rjeđim (0,25% po ciklusu) i većim ($5.110). Očekivani gubitak po uloženom dolaru iznosi 2,70% pri svakom limitu.
Zadatak
Igrač ulaže $10 na crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → i udvostručuje ulog nakon svakog gubitka, a nakon dobitka vraća se na početak. Maksimalni ulog stola iznosi $500. (a) Koliko uzastopnih gubitaka lomi progresijustrategijaProgresijaSvako pravilo koje mijenja ulog na temelju prethodnih rezultata. Negativne progresije povećavaju ga nakon gubitaka, pozitivne nakon dobitaka.Pročitajte cijelo →? (b) Kolika je vjerojatnostmatematikaVjerojatnostIzgledi da se neki ishod dogodi, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → po ciklusu? (c) Koliko se gubi pri lomu? (d) Kako limit od $5.000 mijenja odgovore? (e) Čini li ijedan limit sustav profitabilnim?
Rješenja (a)–(c)
Ulozi: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sedmi bi bio 640 > 500, pa šest gubitaka lomi progresiju. (b) p(gubitak) = 19/37 na crveno; (19/37)⁶ = 0,0183, oko 1,8% po ciklusu. Ciklus u prosjeku traje oko dva okretaja, pa sesija od 100 okretaja ima otprilike 50 ciklusa, a p(barem jedan lom) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, što su 63 osnovne jedinicenovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sustav ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za bilo kojim stolom.Pročitajte cijelo →, naspram $10 koje je ciklus pokušavao dobiti.
Rješenje (d)
Pri $5.000 dopušteni su ulozi do 2.560; deseti ulog, 5.120, odbija se. Devet gubitaka lomi progresiju: (19/37)⁹ ≈ 0,25% po ciklusu, oko 11% sesija od 100 okretaja. Gubitak pri lomu: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Igrač je kupio rjeđu katastrofu po cijenu veće. Kroz mnogo sesija očekivani trošak lomova jest p × gubitak ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 po ciklusu pri limitu od $500 i 0,0025 × 5.110 = $12,8 pri $5.000; to je, u granicama zaokruživanja, isti broj, i to je očekivani gubitakmatematikaOčekivani gubitakOčekivana vrijednost pomnožena s ukupnim uloženim iznosom; prosječni iznos izgubljen tijekom sesije ili razdoblja.Pročitajte cijelo → ciklusa umanjen za $10 koje zarađuju dobitni ciklusi.
Rješenje (e)
Ne. Očekivani gubitak po ciklusu = (očekivani ukupni ulog u ciklusu) / 37, pri svakom limitu, jer je svaka oklada −1/37 same sebe. Limit samo određuje kako se gubitak raspoređuje između mnogo malih dobitaka i malo velikih gubitaka. Bez limita i uz beskonačan bankrollnovacBankrollUkupan iznos odvojen za igru. Upravljanje bankrollom znači odlučiti koliko ćete od njega riskirati po okladi i po sesiji.Pročitajte cijelo → (novac odvojen za igru) progresija bi „funkcionirala” u smislu da se nikad ne bi slomila, a usto bi uložila neograničen iznos uz očekivani gubitak od 2,70% tog neograničenog iznosa. Nije limit stolastolLimit stolaMinimalni i maksimalni dopušteni ulog. Maksimum je ono što zaustavlja progresije s udvostručavanjem.Pročitajte cijelo → ono što sprječava sustav MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje ulog nakon svakog gubitka. Što čini, a što ne čini, pogledajte u odjeljku Strategija.Pročitajte cijelo → da funkcionira. To je aritmetika.
Dva stvarna stola
Thorpov primjer je stol s minimumom od $1 i maksimumom od $1.000, za kojim se igrač nada dobiti $30 za večeru, dolar po dolar. Ulozi 1, 2, 4 … 512 dopuštaju deset oklada, pa deset gubitaka zaredom lomi progresiju: jednom u 785 ciklusa na europskom kotaču (jednom u 613 na američkom), uz trošak od $1.023. Svih trideset ciklusa uspije u 96,2% slučajeva. Preostalih 3,8% gubi oko $1.000, a prosječni rezultat večeri iznosi −$9,17, što je točno 1/37 od $339 koje trideset ciklusa u prosjeku uloži. Stol s minimumom od $5 i maksimumom od $2.000 nije drukčiji: ulozi do $1.280 dopuštaju devet oklada, a lom dolazi jednom u 403 ciklusa na europskom kotaču (jednom u 323 na američkom) i stoji $2.555.
Bogati igrač
Dajte progresiji dubok bankroll umjesto niskog limita: 1.000 jedinica, osnovni ulog od jedne jedinice i 1.000 okretaja na crveno, uz povratak na jednu jedinicu kad god je sljedeće udvostručenje veće od onoga što je ostalo. Simulirali smo milijun takvih večeri. Na europskom kotaču 52% završi u plusu, 21% izgubi sve, a prosječni rezultat iznosi −124 jedinice. Čak i u igri bez nulekotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo →, u kojoj je svaka oklada pravedna, samo bi oko 60% završilo u plusu. Uobičajena večer je mali dobitak; prosjek plaćaju večeri koje završe na nuli.
Pouka
Kasina postavljaju limite da bi ograničila vlastitu varijancumatematikaVarijancaMjera toga koliko se široko rezultati raspršuju oko očekivane vrijednosti. Visoka za jedan broj, niska za oklade na jednostavne šanse.Pročitajte cijelo →, a ne da bi porazila sustave. Poraz sustava Martingale nuspojava je koja im je dobrodošla, a aritmetika bi ga ionako porazila. Igrač koji misli da je limit problem pronašao je provaliju i zamijenio je s padinom.
Formula
Pitanja
Omogućuje vam da preživite do višeg limita, gdje je lom rjeđi i veći. Očekivani gubitak po dolaru ostaje isti.
Ulozi 10, 30, 70, 150, 310: limit od $500 dosegne se nakon pet gubitaka, a lom stoji $570. Istih 2,70%.
Da jedan igrač ne bi mogao uložiti više nego što kasinova pričuva može bez teškoća isplatiti. Upravljanje varijancom.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Sustav MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje ulog nakon svakog gubitka. Što čini, a što ne čini, pogledajte u odjeljku Strategija.Pročitajte cijelo → počinje s $100 na crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → i dopušta si najviše n oklada po ciklusu: nakon n gubitaka zaredom odustaje i počinje ispočetka. Napišite prosječni rezultat jednog ciklusa kao formulu u ovisnosti o n i izračunajte ga za 5, 6 i 7 oklada na europskom kotaču.
Prikaži rješenje
Odgovor Prosjek iznosi 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 za 5 oklada, −$17,35 za 6 i −$20,52 za 7. Dopuštanje više oklada prosječni ciklus čini lošijim, ne boljim.
Ciklus dobiva $100 osim ako svih n oklada ne izgubi, što se događa s vjerojatnošću qⁿ, gdje je q = 19/37. Kad sve izgube, ulozi 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ zbrajaju se u 100 × (2ⁿ − 1). Dakle prosjek je 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Ovdje je 2q = 38/37, malo više od 1, pa (2q)ⁿ raste s n, a prosjek pada: n = 5 daje 1,1426 i −$14,26; n = 6 daje 1,1735 i −$17,35; n = 7 daje 1,2052 i −$20,52. Dulje ljestve rjeđe gube, u 3,6%, 1,8% i 0,9% ciklusa, ali je svaki gubitak dvostruko veći, a u svakom ciklusu preko stola prijeđe više novca, uz 2,70% svake oklade.
Na američkom kotaču 2q = 40/38, a brojke su −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). U igri bez nulekotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo → 2q = 1 i svaki ciklus u prosjeku daje točno nulu, koliko god ljestve bile duge.
„Veliki Martingale” (grand Martingale) nakon gubitka udvostručuje ulog i dodaje jednu jedinicunovacJedinicaOsnovni ulog u kojem računa sustav ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za bilo kojim stolom.Pročitajte cijelo →, pa ulozi idu 1, 3, 7, 15, 31 … Koliko ste u dobiti kad prvi dobitak dođe na 1., 2., 3. ili k-toj okladi? Uz jedinicu od $10 i maksimum od $500, koliko se često ciklus slomi i koliko ciklus u prosjeku stoji?
Prikaži rješenje
Odgovor Dobitak na k-toj okladi ostavlja vas k jedinica u dobiti: +1, +2, +3 i tako dalje. Uz $10 i $500 ciklus se slomi nakon pet gubitaka, u 3,57% ciklusa, uz −$570. Ciklus u prosjeku gubi $2,32 od $85,73 uloženih: 2,70%.
K-ti ulog iznosi 2ᵏ − 1 jedinica: 1, 3, 7, 15, 31. Prvih k − 1 uloga zbraja se u 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Dobitak na k-toj okladi isplaćuje 2ᵏ − 1, pa ciklus završava s (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jedinica dobiti: jedna dodatna jedinica za svaki gubitak prije dobitka.
Uz $10 po jedinici ulozi su $10, $30, $70, $150 i $310; sljedeći, $630, prelazi maksimum od $500. Pet gubitaka zaredom, (19/37)⁵ = 3,57%, stoji 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Prosjek: dobici donose $10 × k s vjerojatnošću (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 za k = 1 do 5, a slom odnosi $570 s vjerojatnošću 3,57%; zajedno −$2,32. Uloženi novac iznosi u prosjeku $85,73 po ciklusu, a 2,32/85,73 = 2,70%. Obični Martingale za istim stolom slomi se nakon šest gubitaka, u 1,83% ciklusa, uz −$630, i gubi $1,74 od $64,20 uloženih: opet 2,70%.
Igrač planira sustav Martingale na crveno s prvom okladom od $1 za stolom s limitom od $1.000, pa je moguće deset oklada: $1, $2, $4 i tako dalje do $512. Koliko često ciklus izgubi svih deset, koliko to u prosjeku traje i koliko često večer od 200 oklada tako završi?
Prikaži rješenje
Odgovor Ciklus izgubi svih deset otprilike jednom u 784, što stoji $1.023. To je u prosjeku oko 1.600 oklada, a večer od 200 oklada udari u zid u oko 11% slučajeva. Ciklus i dalje u prosjeku gubi $0,31 od $11,31 uloženih: 2,70%.
Oklada na crveno gubi s vjerojatnošću 19/37, uključujući nulu. Deset zaredom: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, otprilike 1 od 784. Ulozi 1 + 2 + 4 + … + 512 zbrajaju se u $1.023.
Ciklus u prosjeku traje 2,05 oklade, pa 784 ciklusa traju oko 1.600 oklada. Računa li se okretaj po okretaj, niz od deset gubitaka pojavi se negdje u 200 oklada u 11,3% slučajeva.
Između katastrofa igrač dobiva $1 po ciklusu: oko $783 prije one loše, zatim −$1.023, oko −$240 kroz cijelo razdoblje. Po ciklusu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Uloženi novac po ciklusu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.
Usporedite prvu okladu od $10 uz limit od $500, šest oklada: zid dolazi jednom u 55 ciklusa, a večer od 200 oklada naiđe na njega u 84% slučajeva. Viši limit slom čini rjeđim i većim, ne jeftinijim.
Malo humora
Rjeđe i veće, pri svakom limitu. Umnožak je stalan.
Izvori
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.