Kockarska zabluda
Uvjerenje da je neki rezultat „na redu” zato što se neko vrijeme nije pojavio.
Nakon deset crvenih vjerojatnost crnog i dalje je 18/37. Kotač ne vodi evidenciju i nikome ništa ne duguje.
Zabluda
Ako je crvenookladaCrvenoOklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → palo deset puta, mnogi igrači osjećaju da je crnookladaCrnoOklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo → „na redu” i tako se klade. Drugi osjećaju da je crveno „vruće” i klade se na njega. I jedni i drugi zaključuju iz slijeda koji je već završio o okretaju koji se još nije dogodio. KuglicaopremaKuglicaMala kugla koja se ubacuje u stazu suprotno od smjera rotora. Suvremene kuglice izrađene su od ivorina ili teflona, 18–21 mm.Pročitajte cijelo → ne zna kakvih je bilo zadnjih deset okretaja; pretinciopremaPretinacJedan od 37 numeriranih odjeljaka na rotoru. Također: slot, cup.Pročitajte cijelo → su iste veličine kao i prije sat vremena; vjerojatnostmatematikaVjerojatnostIzgledi da se neki ishod dogodi, od 0 do 1 ili od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → crnog je 18/37, kao i uvijek.
Zašto se čini istinitom
Dugoročno se udjeli crvenog i crnog doista približavaju vrijednosti od 18/37 svaki. Zakon velikih brojevamatematikaZakon velikih brojevaProsjek nezavisnih rezultata konvergira očekivanoj vrijednosti kako raste broj pokušaja.Pročitajte cijelo → to jamči. No konvergencija nastaje razrjeđivanjem, a ne ispravljanjem: nakon još 1.000 okretaja deset viška crvenih samo je pogreška zaokruživanja u udjelu, ne zato što je crno sustiglo, nego zato što je uzorak narastao. Ne postoji mehanizam koji bi crno činio vjerojatnijim, a zakon velikih brojeva ga i ne treba.
Monte Carlo, 18. kolovoza 1913.
Crno je palo 26 puta zaredom za jednim stolom u Casino de Monte-Carlo. Otprilike od petnaestog crnog igrači su navalili na crveno, udvostručujući i ponovno udvostručujući uloge, a svaki je okretaj bio „sigurniji” od prethodnog. Kasino je dobio milijune franaka. Niz je od prvog crnog imao vjerojatnost 1 od 137 milijuna, a vjerojatnost da se jednom negdje u svjetskim kasinima dogodi bila je praktički jedan. Zato se kockarska zabluda naziva i zabludom Monte Carla.
Ništa posebno. Događa se jednom u 44 slučaja.
Igrači počinju primjećivati. Crveno je „na redu”.
Za stolom je gužva. Ulozi na crveno udvostručuju se nakon svakog gubitka.
Izgubljena bogatstva. Sa svakim novim crnim crveno se čini sigurnijim.
Niz završava. Kasino je dobio milijune franaka od ljudi koji su se kladili protiv niza koji nije mogao „znati” da je niz.
Vruća ruka
Kladiti se na boju zato što je u nizu ista je pogreška okrenuta naopako: od niza se očekuje da se nastavi, a ne da završi. Psiholozi to nazivaju vrućom rukommitVruća rukaUvjerenje da niz dobitaka, ili niz istog ishoda, čini sljedeći vjerojatnijim. Za kotačem je to kockarska zabluda okrenuta naglavce.Pročitajte cijelo →, prema studiji Gilovicha, Vallonea i Tverskog iz 1985. koja je tražila nizove u košarkaškom šutiranju i nije našla ništa više od slučaja. Godine 2018. Miller i Sanjurjo pokazali su da je sam test bio nagnut: u kratkom zapisu udio pogodaka neposredno nakon pogotka u prosjeku ispada niži od šuterova ukupnog prosjeka, pa igrač bez ikakve vruće ruke izgleda malo hladno. Nakon ispravka isti podaci pokazuju skromnu vruću ruku. Čovjek se može zagrijati; kotač nema formu u kojoj bi bio. Neki igrači drže oba uvjerenja istodobno: da se niz nastavlja dok ne postane „predug”, a onda završava. Na ispravnom kotaču svaka inačica ima istu očekivanu vrijednostmatematikaOčekivana vrijednostProsječni rezultat po okladi dugoročno. −1/37 uloga za svaku standardnu europsku okladu.Pročitajte cijelo → kao biranje boje bacanjem novčića: −2,70% uloga.
Za pravim stolom
Croson i Sundali (2005) pregledali su 18 sati snimki nadzornih kamera jednog stola s dvostrukom nulomkotačNulaJedini zeleni pretinac, koji ne pokriva nijedna oklada na jednostavnu šansu, tucet ili stupac; izvor prednosti kuće. Također: jedna nula, 0.Pročitajte cijelo → u velikom kasinu u Renu: 139 igrača i 24.131 oklada. Na okladama na jednostavne šanseokladaOklada na jednostavnu šansuCrveno/crno, neparno/parno, visoko/nisko. 18 brojeva, isplaćuje 1:1.Pročitajte cijelo → igrači su bili otprilike podjednako podijeljeni između onih koji slijede kratke nizove i onih koji im se suprotstavljaju. Nakon pet istih zaredom naginjali su protiv niza, a nakon šest ili više 85% njihovih oklada bilo je na suprotnoj strani. Isti su igrači pokazivali vruću ruku kad je riječ o njima samima: nakon dobitka na brojevima u sljedećem su okretaju u prosjeku pokrivali 13,6 brojeva, a nakon gubitka 9,2. Njihov kotač nije pokazivao nikakav znak pristranosti, pa ništa od toga nije promijenilo ono što je itko od njih mogao očekivati.
Izvan kasina
Isti se poriv javlja ondje gdje se donose stvarne odluke. Clotfelter i Cook (1993) pratili su dnevnu brojčanu lutriju u Marylandu: novac uložen na neki broj naglo je padao čim bi taj broj bio izvučen i trebali su mjeseci da se oporavi, iako izvlačenje nema pamćenje. Chen, Moskowitz i Shue (2016) našli su to i kod profesionalaca. Suci za azil u Sjedinjenim Američkim Državama bili su do 3,3 postotna boda skloniji odbiti predmet ako su prethodni odobrili. Bejzbolski suci bili su 1,5 boda manje skloni dosuditi strike nakon što su ga upravo dosudili, a kod tijesnih bacanja više nego dvostruko toliko. U terenskom pokusu sa službenicima za kredite plaćenima paušalno do 9% odluka preokrenuto je na taj način. Predmeti su stizali slučajnim redom, pa prethodna odluka nije govorila ništa o sljedećoj, baš kao što ni prethodni okretaj ne govori ništa o sljedećem.
Obrnuta kockarska zabluda
Filozof Ian Hacking (1987) imenovao je treću inačicu. Netko uđe u sobu, vidi da par kocaka padne na dvije šestice i zaključi da su ih zacijelo već mnogo puta bacali. Svako je bacanje jednako vjerojatno dvije šestice, bilo prvo te večeri ili tisućito, pa taj prizor ne govori ništa o tome koliko igra već traje. Na ruletu je to igrač koji dođe do ploče s osam crvenih i zaključi da se kotač za tim stolom zacijelo vrti satima kad je dao takav niz. Obična zabluda učitava prošlost u sljedeći okretaj; ova učitava rijedak prizor u prošlost koju nitko nije vidio.
Psiholog koji je vjerovao u nju
Zabluda je imala i učene branitelje. Njemački psiholog Karl Marbe prošao je četiri matične knjige od po 49.152 rođenja, utvrdio da je najdulji niz dječaka ili djevojčica zaredom iznosio 17 i zaključio da su dugi nizovi rjeđi nego što slučaj dopušta, pa niz čini drugi ishod vjerojatnijim. Sam slučaj kaže drukčije: u 196.608 rođenja niz od 17 ili više pojavi se u otprilike četiri od pet slučajeva. Marbe je pronašao upravo ono kako izgleda slučajni slijed. Epstein (2013) prepričava slučaj; stranica Vjerojatnost nizova daje inačicu za rulet.
Gdje zabluda ne vrijedi
Kad bi kotač bio fizički pristran, prošli okretaji bili bi informativni, jer bi bili dokaz o pretincima, a ne o sreći. To je tema Laboratorija, a za bilo kakav zaključak potrebne su tisuće okretaja s jednog poznatog kotača. Za niz od deset crvenih na nepoznatom kotaču objašnjenje pristranošću daleko je manje vjerojatno od objašnjenja slučajem.
Pitanja
Ne odnosi. Vrijedi za svaki nezavisan ponovljeni događaj: kocke, novčiće, brojeve lutrije.
Udjeli će se približiti. Vaš će rezultat i dalje biti oko −2,70% onoga što ste uložili.
Zakon prosjeka ne postoji. Postoji zakon velikih brojeva, a on djeluje razrjeđivanjem.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Nakon 10 bacanja novčić pokazuje 7 glava i 3 pisma. Nakon 1.000 bacanja pokazuje 517 glava i 483 pisma. Jesu li pisma sustigla glave?
Prikaži rješenje
Odgovor Nisu. Razlika je narasla s 4 na 34. Samo se omjer približio izjednačenom.
Omjer glava i pisama pao je sa 7/3, otprilike 2,33, na 517/483, otprilike 1,07. To je zakon velikih brojevamatematikaZakon velikih brojevaProsjek nezavisnih rezultata konvergira očekivanoj vrijednosti kako raste broj pokušaja.Pročitajte cijelo → na djelu.
Razlika između njih je narasla, s 4 na 34. S ispravnim novčićem razlika od oko 30 nakon 1.000 bacanja posve je obična: tipična razlika raste otprilike s drugim korijenom broja bacanja, dok se omjer ustaljuje prema 1.
Ništa nije vratilo pisma natrag. Rani višak glava razrijeđen je sljedećih 990 bacanja, a ne ispravljen.
Bacite novčić četiri puta i gledajte samo bacanja koja dolaze odmah nakon glave. Koliki su udio tih bacanja glave? Izračunajte to za svaki od 16 mogućih nizova i uzmite prosjek udjela. Je li 50%?
Prikaži rješenje
Odgovor Nije. Iznosi 17/42, otprilike 40,5%. Gledano na taj način, ispravan novčić kao da se nakon glave ohladi.
Ispišite 16 nizova. Dva od njih, PPPP i PPPG, nemaju glavu među prva tri bacanja, pa ništa ne slijedi nakon glave; ostaje 14.
U svakom uzmite bacanja koja slijede nakon glave i nađite udio glava među njima. GGGG daje 3 od 3. GGGP daje 2 od 3. GPGP daje 0 od 2. Kad se prođe svih 14: šest nizova daje 0, četiri daju 1/2, jedan daje 2/3, a tri daju 1 (GGGG, PGGG i PPGG).
Zbrojite udjele: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Podijelite s 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Nijedno bacanje ne daje prednost pismu; svako je 50 : 50. Nagib dolazi od uprosječivanja niz po niz: niz pun glava ima mnogo bacanja za promatranje, ali se računa jednom, isto kao niz sa samo jednim. Miller i Sanjurjo (2018) pokazali su da je studija o „vrućoj ruci” iz 1985. na taj način mjerila svoje košarkaše, pa su igrači koji se nisu činili skloniji nizovima od slučaja zapravo bili nešto skloniji.
Malo humora
Razrjeđivanje, a ne ispravljanje. Kotač nikome ništa ne duguje.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”